Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Guten Morgen und willkommen zur 21. Vorlesung. Heute werden wir sprechen über Symmetrien und

Erhaltungsgrößen und nämlich genau deren Beziehung. Ich hatte das letzte Mal schon

kurz angerissen, als wir auf den Fluss eines von einem Hamiltonien erzeugten Flussfeldes

geschaut haben. Warum interessieren uns überhaupt Erhaltungsgrößen? Das hatte ich auch in einer

der vorigen Vorlesungen angesprochen. Erhaltungsgrößen bringen uns natürlich der expliziten Lösung

eines Systems immer ein Stück näher. Das sind ja, man bezeichnet die auch als erste

Integrale der Bewegung. Da ist, wenn wir jetzt mal noch mal an die Nutengleichung denken,

von den zwei Zeitableitungen, die wir ja rückgängig machen wollen, wenn wir die Bahnenkurve finden

müssen, ist da schon eine ausgeführt, zum Beispiel bei der Energieerhaltung oder bei

der Impulserhaltung. Das heißt, wenn Sie hinreichend viele Erhaltungsgrößen gefunden

haben, sind Sie der Lösung des Problems schon näher. Es wäre ungeschickt, die nicht zu

nutzen. Es gibt auch eine Formulierung der Mechanik, die wir aus Zeitgründen leider

nicht mehr machen können. Das ist die sogenannte Hamilton-Jacobi-Formulierung der Mechanik.

Das ist eine Methode, die treibt das auf die Spitze. Die schaut sich Erhaltungsgrößen

an und versucht im Phasenraum Koordinaten so zu transformieren, dass letztlich alle Koordinaten

selbst Erhaltungsgrößen sind. Dann bleiben Sie einfach an einem Punkt stehen. Also ganz

grob gesprochen. Das ist eine super Idee. Daraus kann man eine super Lösungsmethode

machen. Das ist die Hamilton-Jacobi-Methode. Allerdings ist das Auffinden dieser Transformation,

die Sie dorthin bringen, eben genauso schwer wie das System zu lösen. Das heißt, es ist

eine super Idee, aber in der Praxis ist die eher irrelevant. Deswegen ist es auch gar

nicht ganz so schlimm, dass das wegfällt. Aber dennoch, also Erhaltungsgrößen finden

ist eine tolle Sache. Und wie findet man die? Ja, mit viel Erfahrung und Suchen und so weiter.

Aber heute haben wir noch einen weiteren Trick aus dieser Kiste. Hinschauen und verstehen.

Nämlich, wir schauen uns wieder einfach die Hamilton-Funktion an. Und wir schauen es heute

an, ob diese Hamilton-Funktion Symmetrien hat. Und wenn wir solche Symmetrien erkennen,

durch bloßes Hinschauen, tada, da gibt es ein Theorem. Das gibt uns den Zusammenhang.

Das ist das sogenannte nötersche Theorem und das ist unser erster Abschnitt. Nötersches

Theorem. Und das ist von Emy Nöther. Die war auch mal in Erlangen gewesen, eine Mathematikerin.

Und die hat da wohl allgemeiner darüber gesprochen. Aber in der Physik ist das bekannt als nötersches

Theorem. In der Form, das ist besagt, jeder Symmetrie eines Systems und des Systems, aber

natürlich beschrieben durch den Phasenraum und die Hamilton-Funktion, deswegen formulieren

wir, jeder Symmetrie in Klammern, spezifischer einer Hamilton-Funktion, entspricht einer

Erhaltungsgröße oder korrespondiert entspricht einer Erhaltungsgröße. Und was wir damit

meinen ist in der Zeit. Das sind also Observablen, die in der Zeit sich nicht ändern. Was soll

denn das bedeuten? Wieso soll sich denn eine Observable in der Zeit ändern? Eine Observable

ist doch eine Funktion auf dem Phasenraum. Der Phasenraum hat ja mit der Zeit zunächst

mal gar nichts zu tun. Richtig? Man meint hier auch, genauer gesagt, wenn ich einer

Lösungskurve des Systems folge, zum Beispiel im Phasenraum, im harmonischen Oszillator,

hier auf so einem Kreisumlauf oder einem kleineren Kreis, während ich einer Lösungskurve folge,

ändert sich die Observable nicht an all den Stellen, an denen ich vorbeikomme. Nämlich

eine andere Lösungskurve mag die Observable einen anderen Wert haben, aber während ich

entlang der Lösungskurve des Systems laufe, dort ändert sich diese Observable nicht.

Sie sehen schon, wir brauchen eine präzise Definition. Also wir wollen Symmetrie und

Erhaltungsgröße definieren. Also präzise Definitionen. Erstens, eine Observable C,

wie Conserved, eine Observable C, was war nochmal eine Observable? Eine Observable war eine

glatte Funktion auf dem Phasenraum über den zugänglichen Konfigurationen. Eine Observable

C heißt Erhaltungsgröße. Und jetzt sehen Sie schon, ich muss das noch ein bisschen

spezifizieren, denn eine Observable kann keine Erhaltungsgröße per se sein, sie kann nur

eine Erhaltungsgröße bezüglich einer gegebenen Hamilton Funktion sein, bezüglich einer gegebenen